第142章 别出一格的解法！

bsp;  设有正整数a及b满足(a2+b2)\/(ab+1)=k，其中k不是平方数，我们将制造出一个矛盾去证明这是不可能的，所以k必为平方数。

    在众多组满足条件的正整数a、b中，必有一组的和是最小的，我们设它为a1与b1。由于把a1与b1互换，也不会影响 (a12+ b12)\/(a1b1 +1) 的值，所以我们不妨假设a1＞= b1。

    将a1与b1代入上面的式子得到......

    a1是一元二次方程 x2 - kb1 x+ (b12-k) = 0 的一个根，设方程的另一个根为a2。根据韦达定理，我们得到......

    由此进一步得到a2需要满足的条件。

    根据 (1)，a2必为整数。

    根据 (2)，a2不可能是0，因为k不是平方数，b12-k不可能是0。

    k是正整数，b1是正整数，(a22+ b12)\/(a2b1+1) = k，显然a2不可以是负数。

    根据上方假设过 a1＞= b1，因此根据 (2)，a2必定小于a1。

    综上所述，我们有一小于a1的正整数a2，令(a22+ b12)\/(a2b1 +1) = k，其中k不是平方数。

    a2与b1是满足(a2+b2)\/(ab+1)=k（其中k不是平方数）的一组解，但它们的和比a1与b1小，“没有最小，只有更小”。

    之前已经假设a1与b1的和是众多组解中最小的，这样就产生矛盾了。

    因此证明，如果正整数a, b满足ab+1可以整除a2+b2，(a2+b2)\/(ab+1)必定是平方数！”

    洋洋洒洒，十分钟不到的功夫，陆天已经将手下一整张A4纸写的密密麻麻，几乎全是数字。

    “我证明完了！”

    陆天说着话，回头一看，映入眼帘的，就是一张激动的不可自抑的老脸。

    吴老激动坏了！

    他真的激动坏了！

    这个小陆，真的是天才，完完全全的数学天才！

    思维开阔，想象力丰富。

    整篇的论证下来，几乎都是高中的数学知识！

    “有希望了啊！有希望了啊！”

    吴老心中呢喃，这么多年了，他总算是看到京城大学数学系有超越水木大学的希望了！

    小李没有说错，不，还是说错了！

    吴老心中那个激动啊，这个小陆同学，哪止是给京城大学加五成的胜率啊！

    小李还是低估了！

    九成！！

    在吴老看来，有陆天在，京城大学在这次的国际数学竞赛中，至少有九成的概率夺得冠军！

    而只要冠军一拿，在今年的全国高校专业评比中，京城大学是极有可能反超水木大学，数学专业成为全国第一！

    “呃，吴老，我做的对吗？”

    见到面前的小老头一直笑着不说话，陆天都有点懵了。

    您笑的我害怕！

    他知道自己长得帅，可这小老头脸上都笑成了一朵花了是怎么回事？

    自己的魅力有这么大吗？

    “咳咳！”

    听到陆天的声音，吴老也迅速反应了过来，尴尬一笑，“对！证明思路都是对的！恭喜你，小陆同学！”